Exponentielle d'une matrice
\(\exp(A)\)
L'
Exponentielle d'une matrice \(A\) est définie via la série : $$\exp(A)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A^n}{n!}$$
- \(\exp(A)\) est toujours inversible, d'inverse \(\exp(-A)\)
- \(\exp\) est surjective sur \(\mathcal M_d({\Bbb C})\)
- \(\exp(\mathcal M_d({\Bbb R}))=\) \(\{A^2\mid A\in\text{GL}_d({\Bbb R})\}\)
- si \(A\) et \(B\) commutent, alors \(\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)\)
- si \(A=\text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_d)\), alors \(\exp(A)=\) \(\text{diag}(e^{\lambda_1},\dots,e^{\lambda_d})\)
- propriété sur la norme : \(\lVert\exp(A)\rVert\leqslant\exp(\lVert A\rVert)\)
- expression dans une autre Base (algèbre linéaire)|Base : \(\exp(PAP^{-1})=\) \(P\exp(A)P^{-1}\)
